本節では (runge-kutta) ライブラリから成る例を説明する。これは微分方程式の系
y'_k = f_k(y_1, y_2, ..., y_n), k = 1, ..., n
を Runge-Kutta 方で積分する積分系手続きを提供するものである。
(runge-kutta) ライブラリは (rnrs base (6)) を使うため、その概形は以下のようになる。
#!r6rs
(library (runge-kutta)
(export integrate-system
head tail)
(import (rnrs base))
<library body>)
以下で説明する手続きの定義は <library body> の部分に入る。
仮引き数 system-derivative は系の状態（状態変数 y_1, ..., y_n のベクタ）を受け取り、系の微分係数（y '_1, ..., y '_n）を返す。仮引き数は初期状態を与え、 h は積分回数の初期的な推測である。
integrate-system の戻り値は系の状態の無限ストリームである。
(define integrate-system
(lambda (system-derivative initial-state h)
(let ((next (runge-kutta-4 system-derivative h)))
(letrec ((states
(cons initial-state
(lambda ()
(map-streams next states)))))
states))))
runge-kutta-4 手続きは関数 f を取り、 f は系の状態から系の微分係数を算出する。 runge-kutta-4 手続きは系の状態を受け取り系の新しい状態を返す関数を返す。
(define runge-kutta-4
(lambda (f h)
(let ((*h (scale-vector h))
(*2 (scale-vector 2))
(*1/2 (scale-vector (/ 1 2)))
(*1/6 (scale-vector (/ 1 6))))
(lambda (y)
;; y is a system state
(let* ((k0 (*h (f y)))
(k1 (*h (f (add-vectors y (*1/2 k0)))))
(k2 (*h (f (add-vectors y (*1/2 k1)))))
(k3 (*h (f (add-vectors y k2)))))
(add-vectors y
(*1/6 (add-vectors k0
(*2 k1)
(*2 k2)
k3))))))))
(define elementwise
(lambda (f)
(lambda vectors
(generate-vector
(vector-length (car vectors))
(lambda (i)
(apply f
(map (lambda (v) (vector-ref v i))
vectors)))))))
(define generate-vector
(lambda (size proc)
(let ((ans (make-vector size)))
(letrec ((loop
(lambda (i)
(cond ((= i size) ans)
(else
(vector-set! ans i (proc i))
(loop (+ i 1)))))))
(loop 0)))))
(define add-vectors (elementwise +))
(define scale-vector
(lambda (s)
(elementwise (lambda (x) (* x s)))))
map-streams 手続きは map に類似のものである。最初の引き数（手続き）を 2 番目の手続き（ストリーム）の要素すべてに適用する。
(define map-streams
(lambda (f s)
(cons (f (head s))
(lambda () (map-streams f (tail s))))))
無限ストリームは car がストリームの最初の要素であり、 cdr がストリームの残りの要素を返す手続きを保持する対として実装されている。
(define head car) (define tail (lambda (stream) ((cdr stream))))
以下のプログラムは次の系を積分する integrating-system の使用法を説明している。
C (dv_C / dt) = -i_L (-v_C / R) L (di_L / dt) = v_C
これは減衰振動をモデル化したものである。
#!r6rs
(import (rnrs base)
(rnrs io simple)
(runge-kutta))
(define damped-oscillator
(lambda (R L C)
(lambda (state)
(let ((Vc (vector-ref state 0))
(Il (vector-ref state 1)))
(vector (- 0 (+ (/ Vc (* R C)) (/ Il C)))
(/ Vc L))))))
(define the-states
(integrate-system
(damped-oscillator 10000 1000 .001)
’#(1 0)
.01))
(letrec ((loop (lambda (s)
(newline)
(write (head s))
(loop (tail s)))))
(loop the-states))
このプログラムは次のようなものを表示する。
#(1 0) #(0.99895054 9.994835e-6) #(0.99780226 1.9978681e-5) #(0.9965554 2.9950552e-5) #(0.9952102 3.990946e-5) #(0.99376684 4.985443e-5) #(0.99222565 5.9784474e-5) #(0.9905868 6.969862e-5) #(0.9888506 7.9595884e-5) #(0.9870173 8.94753e-5)